Nesta aula, vamos estudar um pouco mais de limites e derivadas entendendo as regras de L’Hospital, suas aplicações, a fórmula de Taylor e suas aplicações.
Os limites e derivadas são bastante utilizadas para realizar a análise do que está acontecendo com as funções e para a construção dos gráficos destas funções. Os estudos dos limites são importantes para resolver casos de indeterminações de funções que tendem a uma divisão por zero ou por infinito.
$$ \lim_{n \to e} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0} $$
$$ \lim_{n \to e} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\infin}{\infin} $$
Nestes casos de funções que levam a indeterminações, é possível resolver por meio de uso de fatoração. Porém, há casos em que a utilização de recursos como a faturação não resolve.
Porém, as regras de L’Hospital são regras que podem ser utilizadas para realizar a análise e interpretação do que acontece com as funções e a construção dessas funções.
Uma das regras de L’Hospital diz que se existe duas funções f e g contínuas em um intervalo I. As funções f e g são deriváveis dentro do intervalo I de forma que f’(x) é diferente de zero para todo x do intervalo I. Seja c um elemento do intervalo I, se $f(c)=g(c)=0$ e se $\lim_{n \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, finito ou infinito, então, existe um $\lim_{n \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$, tal que $\lim_{n \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$
Vamos exemplificar com a função $f(x)=x²-1$ e $g(x)=x-1$.
$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x²-1}{x-1}$
$\lim_{n \to 1} \frac{x²-1}{x-1}=\frac{0}{0}$, uma indeterminação
Podemos resolver, por fatoração:
$\lim_{n \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{n \to 1}(x+1)=2$
Ou, podemos resolver pelas Regras de L’Hospital
$\lim_{n \to 1} \frac{x²-1}{x-1}=\lim_{n \to 1}\frac{2x}{1}=2$
