Nesta aula vamos entender os critérios para determinar os extremos de uma função, como determinar e entender a concavidade e os pontos importantes de uma função, o estudo da inflexão nos gráficos e a aplicação da inflexão nos problemas de otimização para determinar máximos e mínimos.
Quando estamos falando de extremos de uma função, estamos falando dos pontos máximos e mínimos da função. Várias funções têm pontos máximos e/ou mínimos e, uma das formas de se verificar e obter estes pontos máximos e mínimos é por meio da construção do gráfico da função e a identificação destes pontos.
Muitas vezes, é complicado construir estes gráficos manualmente, com lápis, papel e régua. Porém, hoje, temos o auxílio da tecnologia para a construção destes gráficos, o que facilita muito a verificação e obtenção dos pontos de máximo e mínimo.
Na ausência dos recursos tecnológicos, podemos também utilizar das derivadas das funções para a obtenção dos pontos de máximos e mínimos das funções. Matematicamente é muito mais viável do que a construção manual dos gráficos das funções.
Vamos exemplificar por meio da função $f(x)=2x²-2$. Vamos determinar, se existir, o(s) ponto(s) de máximo e/ou mínimo da função f(x).
Para isso, vamos construir, usando o recurso tecnológico do geogebra, disponível em https://www.geogebra.org/classic, a função $f(x)=2x²-2$, observe na figura, a construção do gráfico em verde.
Vamos também determinar a derivada f’(x), da função $f(x)=2x²-2$. Na figura, a construção da derivada f’(x) = 4x está em vermelho.
No ponto onde a derivada f’(x) = 4x = 0, está o ponto onde temos o extremo máximo ou mínimo da função f(x). Observe na figura que este extremo está no ponto C(0, -2) da função f(x) que está em verde.
Como a função derivada f’(x) > 0, para x > 0 e f’(x) < 0, para x < 0, isso significa que a função tem ponto de mínimo. Então, o ponto C(0, -2) é ponto de mínimo da função $f(x)=2x²-2$.
Vamos exemplificar por meio da função $f(x)=x³-3x²+2$. Vamos determinar, se existir, o(s) ponto(s) de máximo e/ou mínimo da função f(x).
Para isso, vamos construir, usando o recurso tecnológico do geogebra, disponível em https://www.geogebra.org/classic, a função $f(x)=x³-3x²+2$, observe na figura, a construção do gráfico em verde.
Vamos também determinar a derivada f’(x), da função $f(x)=x³-2x²+2$. Na figura, a construção da derivada $f’(x) = 3x^2 – 6x$ está em azul.
Nos pontos onde a derivada $f’(x) = 3x^2 – 6x=0$, estão os pontos onde temos os extremos máximo ou mínimo da função f(x). Observe na figura que estes extremos estão nos pontos B(0, 2) e C(2, -2) da função f(x) que está em verde.
Como a função derivada f’(x) > 0, para x > 2 e f’(x) < 0, para x < 2, isso significa que a função tem ponto de mínimo. Então, o ponto (2, -2) é ponto de mínimo da função $f(x)=x³-3x²+2$.
Como a função derivada f’(x) < 0, para x > 0 e f’(x) > 0, para x < 0, isso significa que a função tem ponto de máximo. Então, o ponto (0, 2) é ponto de máximo da função $f(x)=x³-3x²+2$.
