Suponhamos que o sólido esteja compreendido entre dois planos perpendiculares a xx, que interceptam o eixo xx em x=ax=a e em x=bx=b. Seja A(x) a área da interseção do sólido com o plano perpendicular a x no ponto de abscissa x. Suponhamos que a função A(x)A(x) seja integrável em [a,b][a,b]. Definimos, então, o volume do sólido por

∫abA(x)dx∫abA(x)dx

Onde A(x)A(x)

é a área da seção transversal.

Sólido gerado pela rotação da região A ao redor do eixo x

Temos que se a secção transversal for um disco, encontramos o raio do disco (em termos de x ou de y) e usamos:

A=πr2A=πr2

Daí temos a fórmula para o volume de sólidos de revolução como:

Volume=∫abπr2dxVolume=∫abπr2dx

Que podemos simplificar, já que ππ

é um número, tiramos da integral:

Volume=∫abr2dxVolume=∫abr2dx

E o raio vai depender da função dada, logo, temos que o volume do sólido de revolução será dado por:

Volume=π∫ab[f(x)]2dxVolume=π∫ab[f(x)]2dx

Lembrando que se for em torno do eixo y, precisamos reescrever a função isolando o x.

Sólido obtido pela rotação da região A em torno do eixo y