Nesta aula, calcularemos a distâncias entre ponto e ponto, entre ponto e reta, entre ponto e plano e entre reta e reta. Por meio das distâncias, analisaremos suas posições relativas.

Tivemos a preocupação de trabalhar o vocabulário de uma forma mais usual, exemplos para a maioria dos cálculos, sejam eles mais complicados ou mais simples.

São necessários vontade, treino e disposição para querer aprender, fazer exercícios e saber que o conhecimento não ocupa espaço.

Esperamos a dedicação e a aprendizagem de todos.

Distâncias

1.  Distância entre ponto e ponto

Sejam A(x1 , y1 , z1) e B(x2 , y2 , z2) dois pontos do espaço. Queremos calcular a distância dA,B entre eles.

Observe a figura:

Os triângulos destacados são retângulos; logo, aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos:

Triângulo A’B’C’:

(dA′,B′)2=(dA′,C′)2+(dB′,C′)2=(y2−y1)2+(x2−x1)2(dA′,B′)2=(dA′,C′)2+(dB′,C′)2=(y2−y1)2+(x2−x1)2

Triângulo ABC:

(dA,B)2=(dA,C)2+(dB,C)2(dA,B)2=(dA,C)2+(dB,C)2

Como dA,C = dA’,B’ e dB,C = z2 – z1, temos:

(dA,B)2=(dA′,B′)2+(dB,C)2(dA,B)2=(y2−y1)2+(x2−x1)2+(z2−z1)2(dA,B)2=(dA′,B′)2+(dB,C)2(dA,B)2=(y2−y1)2+(x2−x1)2+(z2−z1)2

Portanto:

dA,B=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2dA,B=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2

Observação:

A distância entre dois pontos A e B, nada mais é do que a norma do vetor formado por estes dois pontos:  dA,B=∥AB→→∥=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2.dA,B=∥AB→∥=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2.