Nesta aula vamos entender mais sobre as aplicações de limites e derivados por meio do teorema de Rolle, do teorema do valor médio, das funções crescentes e das funções decrescentes.
O Teorema de Rolle é um dentre dois teoremas importantes no estudo do Cálculo. O teorema de Rolle é existencial, pois, considerando e respeitando determinadas condições, o teorema afirma a existência de um dado extremo. Porém, não afirma o caminho para encontrar esse dado extremo.
Michel Rolle, um estudioso francês das técnicas do Cálculo, analisando estas técnicas com mais detalhes e esclarecimentos, percebeu que alguns métodos utilizados nas técnicas dos Cálculos realmente faziam sentido. Com isso, publicou o Teorema de Rolle.
O Teorema de Rolle consiste em: considerando uma função f e f contínua em um intervalo fechado [a,b]. Considerando f uma função diferenciável no intervalo aberto ]a,b[. Podemos dizer que para f(a) = f(b), existe no mínimo um valor c no intervalo aberto ]a,b[ de forma que f’( c) = 0.
Vamos exemplificar para entender melhor o Teorema de Rolle. Vamos considerar a função $f(x) = –2x^3 + 5x$. Para esta função, vamos considerar um intervalo para os valores dea = –1.823 e b = 1.
Veja que temos f(a) = 3 e f(b) = 3, f(a) = f(b) como no Teorema de Rolle. Isso significa que existe um valor c, neste intervalo ]-1.823, 1[, de forma que f’(c)=0.
Se considerarmos c = –0,913, f’(c)=0.
Observe como fica o gráfico, com todos estes valores.
O Teorema do Valor Médio é um dentre dois teoremas importantes no estudo do Cálculo. O teorema do Valor Médio é existencial, pois, considerando e respeitando determinadas condições, o teorema afirma a existência de um dado extremo. Porém, não afirma o caminho para encontrar esse dado extremo.
O Teorema do Valor Médio está relacionado com o Teorema de Rolle. O Teorema do Valor Médio tem esse nome porque em algum momento, por exemplo, um veículo que teve a velocidade média em determinado percurso medido em 50 quilômetros por hora, esteve em alguns momentos mais rápido ou mais lento do que a média de 50 quilômetros por hora.
O que se deve observar é que, independente destes momentos mais rápidos ou mais lentos, comparados com o valor da velocidade média, o valor da velocidade média foi o mesmo que da velocidade escalar instantânea, em determinado momento.
Para o Teorema do Valor Médio, consideramos uma função f e f contínua em um intervalo fechado [a,b]. Considerando f uma função diferenciável no intervalo aberto ]a,b[. Podemos dizer que existe um valor c pertencente ao intervalo ]a,b[ de forma que:
$f’(c)=\frac{f(b)–f(a)}{b-a}$ , ou
$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$
O teorema do valor médio diz que existe pelo menos um ponto em que esta relação acontece, ou seja, é importante ressaltar que pode haver mais de um ponto nas condições estabelecidas pelo teorema.