Nesta aula, estudaremos os tipos de equações de um plano no espaço e calcularemos o ângulo formado por dois planos.

Tivemos a preocupação de trabalhar o vocabulário de uma forma mais usual, exemplos para a maioria dos cálculos, sejam eles mais complicados ou mais simples.

São necessários vontade, treino e disposição para querer aprender, fazer exercícios e saber que o conhecimento não ocupa espaço.

Esperamos a dedicação e a aprendizagem de todos.

Estudo do plano: equações vetorial, paramétricas e geral do plano

Equação vetorial do plano:

Sejam p um plano e A um ponto fixo em ππ.

Dados dois vetores não paralelos  u→u e v→v,mas paralelos a ππ, dizemos que u→u e v→v são  vetores diretores do plano ππ.

Assim, todo ponto X ∈π∈π,pode ser obtido por:

X = A + λu→+μv→; λ,μ∈IRλu+μv; λ,μ∈IR (parâmetros)

que é a equação vetorial de ππ determinada por um de seus pontos e sua direção.

Exemplo:

O plano ππ que passa pelo ponto A(1 , 1 , 4) e tem u→=(0,1,2)u=(0,1,2) e v→=(2,3,2)v=(2,3,2)

como vetores diretores tem equação vetorial dada por:

X = (1 , 1 , 4) + λλ (0, 1, 2) + μμ (2, 3, 2)

Equações paramétricas do plano:

Se X(x , y , z); A(x0,y0,z0);u→=(a1,b1,c1)A(x0,y0,z0);u=(a1,b1,c1) e v→=(a2,b2,c2)v=(a2,b2,c2) da equação vetorial do plano π:X=A+λu→+μv→π:X=A+λu+μv, resulta que:

(x,y,z)=(x0,y0,z0)+λ(a1,b1,c1)+μ(a2,b2,c2)(x,y,z)=(x0,y0,z0)+λ(a1,b1,c1)+μ(a2,b2,c2)