Nesta aula, vamos falar de algumas aplicações de limites e derivadas por meio da taxa de variação, taxas relacionadas, máximos e mínimos.
A taxa de variação ou taxa média de variação de uma função y em relação a um ponto x pode ser considerada da seguinte forma
Vamos supor que o valor de y depende de x. Se x tiver um deslocamento de x1 até x2, isto significa que y deve variar de y1 até y2.
Vamos considerar esse deslocamento como $△x = x2 – x1$ e $△y = y2 – y1$.
A taxa média de variação de y em relação à x no intervalo [x1, x2] é $\frac{\Delta x}{\Delta y}$.
Neste caso, a taxa instantânea de variação em x = x1 é:
$$ \lim_{\Delta x \to}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{x2 \to x1} \frac{y2-y1}{x2-x1} $$
Considerando que y = f(x), então a derivada f’(a) é a taxa instantânea de variação de y em x = a.
$$ f'(a)=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$
Perceba que a velocidade que é obtida pelo quociente da distância percorrida △s pelo tempo percorrido △s é a taxa de variação.
Além disso, sabendo que S(t) representa a posição de um objeto no tempo t, isto significa que a velocidade instantânea do objeto é S’(t).
Vamos exemplificar considerando a posição de um objeto que é dado pela função do movimento $S=f(t)=\frac{1}{1+t}$ sabendo que t é medido em segundos e S é medido em metros. Com isso, vamos determinar a velocidade do objeto no instante t = 2 segundos.
Para resolver este problema, devemos calcular a derivada f’(t) de f(t):
Quando estamos aplicando os conceitos de limites e derivadas em problemas que, normalmente, envolvem a física, podemos ter duas ou mais quantidades de dados variando ao mesmo tempo.
Neste caso, dizemos que estamos trabalhando e resolvendo problemas de taxas relacionadas. Estas taxas de variação podem estar relacionadas por uma única variável ou podem estar relacionadas entre si.
Uma aplicação das taxas relacionadas é o problema de escoamento de um reservatório que tem o formato de um cone invertido.
Observando a figura que representa o reservatório, é possível verificar que o volume, a altura e o raio são grandezas que estão relacionadas por uma função. Ou seja, esses dados vão depender um do outro e estão relacionados pela fórmula para calcular o próprio volume.