Vamos começar relembrando como se calcula o volume dos sólidos geométricos, veja na imagem abaixo um resumo retirado do quadro “Quer que eu desenhe” da Descomplica:

Suponhamos que o sólido esteja compreendido entre dois planos perpendiculares a xx, que interceptam o eixo xx em x=ax=a e em x=bx=b. Seja A(x)A(x) a área da interseção do sólido com o plano perpendicular a x no ponto de abscissa xx. Suponhamos que a função A(x)A(x) seja integrável em [a,b][a,b]. Definimos, então, o volume do sólido por:

Volume=∫abA(x)dxVolume=∫abA(x)dx

Onde A(x)A(x) é a área da seção transversal.

Sólido gerado pela rotação da região A ao redor do eixo x

Sólido obtido pela rotação da região A em torno do eixo y

Exemplo 1: Suponha que uma função f(x)=r2+x2f(x)=r2+x2 definida de [−r,r][−r,r]

gere o semicírculo de raio r (figura à esquerda) e que ao ser girado em torno do eixo x resulta na esfera de raio r, demonstrado na figura à direita abaixo:

Vamos demonstrar a fórmula do volume da esfera a partir do sólido de revolução gerado dado a área A(x)A(x):

V=∫baA(x)dxV=∫baA(x)dx

V=∫−rrπ(r2−x2)dxV=∫−rrπ(r2−x2)dx

V=π∫−rr(r2−x2)dxV=π∫−rr(r2−x2)dx

V=π[r2x−x33]−rrV=π[r2x−3x3]−rr

V=π[r2r−r33−(−r2r+r33)]