Nesta aula, apresentaremos as definições algébrica e geométrica do produto misto entre três vetores.

Tivemos a preocupação de trabalhar o vocabulário de uma forma mais usual, exemplos para a maioria dos cálculos, sejam eles mais complicados ou mais simples.

São necessários vontade, treino e disposição para querer aprender, fazer exercícios e saber que o conhecimento não ocupa espaço.

Esperamos a dedicação e a aprendizagem de todos.

Produto misto: definição

Sendo u→=(x1,y1,z1);v→=(x2,y2,z2) e w→=(x2,y2,z3),u=(x1,y1,z1);v=(x2,y2,z2) e w=(x2,y2,z3), chama-se produto misto o número real dado por u→∙(v→×w→).u∙(v×w).

Notação: (u→,v→,w→)(u,v,w)

O produto misto também pode ser calculado pelo determinante da matriz formada pelos três vetores:

(u→,v→,w→)=∣x1y1z1x2y2z2x3y3z3∣(u,v,w)=∣∣x1x2x3y1y2y3z1z2z3∣∣

Exemplo: Calcular o produto misto dos vetores:

u→=2i→+3j→+5k→;v→=−i→+3j→+3k→ e w→=4i→−3j→+2k→.(u→,v→,w→)=∣235−1334−32∣23−134−3=12+36+15−60+18+6=27u=2i+3j+5k;v=−i+3j+3k e w=4i−3j+2k.(u,v,w)=∣∣2−1433−3532∣∣2−1433−3=12+36+15−60+18+6=27

Propriedade:

(u→,v→,w→)=0⇔(u,v,w)=0⇔ os três vetores são coplanares (ou seja, os três vetores estão no mesmo plano).

Exemplos:

1. Verificar se são coplanares os vetores u→=(2,−1,1);v→=(1,0,−1) e w→=(2,−1,4)u=(2,−1,1);v=(1,0,−1) e w=(2,−1,4)

Resolução:

(u→,v→,w→)=∣2−1110−12−14∣=2−1−2+4=3≠0(u,v,w)=∣∣212−10−11−14∣∣=2−1−2+4=3=0

∴u→,v→ w→∴u,v w não são coplanares.

2)   Verificar se os pontos A(1 , 2 , 4); B(-1 , 0 , -2); C(0 , 2 , 2) e D(-2 , 1 , -3) estão no mesmo plano.

Resolução: