Nesta aula, apresentaremos as definições algébrica e geométrica do produto vetorial entre dois vetores.

Tivemos a preocupação de trabalhar o vocabulário de uma forma mais usual, exemplos para todos os cálculos, sejam eles mais complicados ou mais simples.

São necessários vontade, treino e disposição para querer aprender, fazer exercícios e saber que o conhecimento não ocupa espaço.

Esperamos a dedicação e a aprendizagem de todos.

Produto vetorial: definição

Sendo u→=(x1,y1,z1)u=(x1,y1,z1) e v→=(x2,y2,z2)v=(x2,y2,z2), chama-se produto vetorial o vetor dado por:

u→×v→=∣i→j→k→x1y1z1x2y2z2∣u×v=∣∣ix1x2jy1y2kz1z2∣∣

(ou seja, o produto vetorial é calculado pelo determinante de uma matriz de ordem 3, que tem os vetores i→,j→i,j e k→k na primeira linha e as coordenadas dos vetores u→u e v→v nas linhas seguintes)

Notação: u→u x v→v ou u→u Λ v→v e se lê: “u→u vetorial v→v”.

Exemplo: Calcular u→u x v→v, sendo u→=5i→−3j→+k→u=5i−3j+k e v→=2i→+j→−3k→v=2i+j−3k

u→×v→=∣i→J→k→5−3121−3∣u×v=∣∣i52J−31k1−3∣∣

Vamos usar a regra de Sarrus para calcular o determinante da matriz. Lembre-se que, nesta regra, repetimos as duas primeiras colunas ao lado da matriz e efetuamos os produtos dos elementos em diagonal:

u→×v→=∣i→j→k→5−3121−3∣i→j→5−321=9i→+2j→+5k→−(−6k→+i→−15j)→==9i→+2j→+5k→+6k→−i→+15j→=8i→+17j→+11k→=(8,17,11)u×v=∣∣i52j−31k1−3∣∣i52j−31=9i+2j+5k−(−6k+i−15j)==9i+2j+5k+6k−i+15j=8i+17j+11k=(8,17,11)

Características do vetor u→×v→u×v:

i) Direção: o vetor u→×v→u×v é simultaneamente ortogonal a u→ e v→u e v

No exemplo acima, temos o produto escalar para atestar a ortogonalidade:

(u→×v→)∙u→=(8,17,11)∙(5,−3,1)=40−51+11=0(u×v)∙u=(8,17,11)∙(5,−3,1)=40−51+11=0

Portanto são ortogonais.