Nesta aula, apresentaremos as definições algébrica e geométrica do produto escalar entre dois vetores. Calcularemos o ângulo formado por dois vetores e as coordenadas da projeção ortogonal de um vetor sobre outro.

Tivemos a preocupação de trabalhar o vocabulário de uma forma mais usual, exemplos para a maioria dos cálculos, sejam eles mais complicados ou mais simples.

São necessários vontade, treino e disposição para querer aprender, fazer exercícios e saber que o conhecimento não ocupa espaço.

Esperamos a dedicação e a aprendizagem de todos.

Produto entre vetores

1. Produto escalar: definição algébrica

Sendo u→=(x1,y1,z1)u=(x1,y1,z1) e v→=(x2,y2,z2)v=(x2,y2,z2), chama-se produto escalar o número real dado por:

u→∙v→=x1x2+y1y2+z1z2u∙v=x1x2+y1y2+z1z2

Notação: u→∙v→u∙v ou ⟨u→,v→⟩⟨u,v⟩ e se lê: “u→u escalar v→v”.

Exemplos:

1) Dados os vetores u→=(1,2,3)u=(1,2,3) e v→=(−3,4,−1)v=(−3,4,−1), calcular:

a) u→∙v→=1.(−3)+2.4+3.(−1)=−3+8−3=2u∙v=1.(−3)+2.4+3.(−1)=−3+8−3=2

b) (u→+v→)∙(−u→+v→)=(−2,6,2)∙(−4,2,−4)=(−2).(−4)+6.2+2.(−4)=8+12−8=12(u+v)∙(−u+v)=(−2,6,2)∙(−4,2,−4)=(−2).(−4)+6.2+2.(−4)=8+12−8=12

2) Dado os vetores u→=(4,α,−1)u=(4,α,−1) e v→=(α,2,3)v=(α,2,3) e os pontos A(4 , -1 , 2) e B(3 , 2 , -1), determinar o valor de αα tal que u→∙(v→+BA→)=5.u∙(v+BA)=5.

BA→=A−B=(1,−3,3)BA=A−B=(1,−3,3)

v→+BA→=(α+1,−1,6)u→∙(v→+BA→)=5⇒(4,α,−1)∙(α+1,−1,6)=54.(α+1)+α.(−1)+(−1).6=54α+4−α−6=53α=7α=73v+BA=(α+1,−1,6)u∙(v+BA)=5⇒(4,α,−1)∙(α+1,−1,6)=54.(α+1)+α.(−1)+(−1).6=54α+4−α−6=53α=7α=37

2. Produto escalar – definição geométrica

Sendo u→u e v→v vetores não paralelos e q o ângulo entre eles, temos: