Nesta aula, vamos entender as regras de derivação, derivação de uma função composta, derivação de uma função inversa e como realizar derivadas de funções.
Regra de Derivação
As regras de derivação são importantes para que se possa facilitar os cálculos das derivadas e para descobrir facilmente a inclinação da reta tangente.
Para se realizar o cálculo das derivadas, você pode utilizar a definição de derivada, por meio da resolução de um limite que tende a uma indefinição. Ou, você pode utilizar as regras de derivação. As regras de derivação são validadas por meio de análises matemáticas.
É importante saber que, quando as derivadas existem, elas determinam a inclinação a inclinação das retas tangentes da função f(x) que está sendo analisada.
Considerando a notação f’(x) para a derivada da função f(x), para determinar a inclinação da reta tangente, é preciso calcular o limite que segue.
$$ f'(x) = \lim_{x \to p} \frac{f(x) - f(0)}{x-p} $$
Para entender as regras de derivação, vamos considerar as funções f(x) e g(x) deriváveis e um número real a qualquer. Com isso, se satisfazem as propriedades seguintes.
Se $f(x) = a$, então, $f'(x) = a$.
Se $f(x) = a$.x, então $f'(x) = a$.
Se $f(x) = x^a$, então, $f'(x) = a.x^{a-1}$.
$(f(x) + g(x))'= f'(x) + g'(x)$.
$[a.f(x)]' = a.f'(x)$.
$(f(x) . g(x))'= f'(x) . g'(x)$.
7.$(\frac{f(x)}{g(x)})'= \frac{f'(x).g(x)-f(x).g'(x)} {(g(x))^2}$
A derivada de uma função composta é também conhecida como a regra da cadeira. A regra da cadeia é utilizada para o cálculo de derivadas de funções compostas.
Na Regra da Cadeia, se g for uma função derivável em x e f for uma função derivável em g(x), então pode-se dizer que a função composta $F=f\,\omicron \,g$, que pode ser definida por $F(x) = f(g(x))$ é derivável em x e F’ é resultado do produto:
$F’(x) = f’(g(x)) . g’(x)$
Podemos representar com outra notação. Considerando $y = f(u)\,\, e\,\, u = g(x)$ sendo duas funções deriváveis, temos: