Introdução

No módulo anterior, consideramos circuitos com um único elemento de armazenamento (um capacitor ou um indutor) e que são considerados de primeira ordem, pois as equações diferenciais que os descrevem são de primeira ordem.

Equações diferenciais envolvem derivadas que podem representar a taxa de variação da tensão ou da corrente em função do tempo nos elementos do circuito RLC (resistores, indutores e capacitores). Pode-se dizer que as derivadas de segunda ordem medem a taxa de variação da própria variação da corrente ou da tensão nesses componentes.

Neste módulo, levamos em conta circuitos contendo dois elementos de armazenamento, que são conhecidos como circuitos de segunda ordem, porque suas respostas são descritas como equações diferenciais contendo derivadas segundas.

Exemplos comuns de circuitos de segunda ordem são os RLC, onde estão presentes os três tipos de elementos passivos, como mostram Figuras 1a e b. Outros exemplos são circuitos RL e RC, como os indicados nas Figuras 1c e d. Fica evidente a partir da Figura 1 que um circuito de segunda ordem pode ter dois elementos de armazenamento de tipo distinto ou do mesmo tipo (desde que estes não possam ser representados por um único elemento equivalente).

Um circuito com amplificadores operacionais com dois elementos de armazenamento também pode ser um circuito de segunda ordem. Assim como nos circuitos de primeira ordem, o de segunda ordem pode conter vários resistores e fontes dependentes e independentes.

Figura 1 (a, b). Exemplos típicos de circuitos de segunda ordem: (a) circuito RLC em série; (b) circuito RLC em paralelo; © circuito RL; (d) circuito RC. Fonte: Alexander; Sadiku, 2013.

Figura 1 (c, d). Exemplos típicos de circuitos de segunda ordem: (a) circuito RLC em série; (b) circuito RLC em paralelo; © circuito RL; (d) circuito RC. Fonte: Alexander; Sadiku, 2013.

Um circuito de segunda ordem é caracterizado por uma equação diferencial de segunda ordem. Ele é formado por resistores e o equivalente de dois elementos de armazenamento.

Nossa análise de circuitos de segunda ordem será similar àquela usada para os de primeira ordem. Em primeiro lugar, consideramos circuitos que são excitados pelas condições iniciais de elementos de armazenamento. Embora esses circuitos possam conter fontes dependentes, eles são sem fontes independentes e darão respostas naturais como é de se esperar. Posteriormente, consideramos circuitos que são excitados por fontes independentes, que fornecerão tanto resposta transiente quanto de estado estável.

Para começar, veremos como obter as condições iniciais para as variáveis de circuitos e suas derivadas, já que isso é crucial para a análise de circuitos de segunda ordem. Em seguida, analisaremos circuitos RLC em série e em paralelo como os apresentados na Figura 1 para os dois casos de excitação: pelas condições iniciais dos elementos de armazenamento de energia e pelas entradas em forma de degrau. Posteriormente, examinaremos outros tipos de circuitos de segunda ordem, inclusive com amplificadores operacionais.

Circuitos RLC em série sem fonte

Saber a resposta natural do circuito RLC em série é um conhecimento necessário para estudos futuros nas áreas de projeto de filtros e de redes de comunicação. Consideremos o circuito RLC em série mostrado na Figura 2. O circuito é excitado pela energia inicialmente armazenada no capacitor e indutor, representada pela tensão inicial V0 no capacitor e pela corrente inicial I0 no indutor. Portanto, em t = 0,

Figura 2. Circuito RLC em série sem fonte. Fonte: Alexander; Sadiku, 2013.

Equação 1:

$$ v(0)=\dfrac{1}{C}\int_{-\infty} ^{0}idt= V_0 $$

Equação 2: