Como medir a área A delimitada pelo gráfico da função f(x)=x2f(x)=x2 , de 0 até 1?

Calculamos a soma das quatro áreas destes retângulos, conforme figura a seguir.

Veja que:

(1)

A=14.(14)2+14.(12)2+14.(34)2+14.12=1532=0,46875A=41.(41)2+41.(21)2+41.(43)2+41.12=3215=0,46875

Observe que, ao invés de utilizarmos os retângulos como na figura anterior, poderíamos utilizar retângulos menores, como na figura a seguir:

(2)

A=14.(0)2+14.(14)2+14.(12)2+14.(34)2=732=0,21875A=41.(0)2+41.(41)2+41.(21)2+41.(43)2=327=0,21875

De (1) e (2), podemos estimar que:

0, 21875 < A < 0, 46875

Definição: A área da região que está sob o gráfico de f é o limite da soma das áreas dos retângulos.

Abaixo a ilustração do processo para alguns valores de n (quantidade de retângulos):

O limite dada pela equação (3) é chamado de Integral Definida de f no intervalo [a, b] e indicada por

Conhecida como a Soma de Riemann. Mas iremos utilizar uma decorrência do Teorema Fundamental do Cálculo é: