Nesta aula, apresentaremos a definição algébrica de um vetor no plano (IR2) e no espaço (IR³) conhecendo-se as coordenadas de sua origem e de sua extremidade. Determinaremos se dois ou mais vetores são ou não paralelos e calcularemos a norma de um vetor.

Tivemos a preocupação de trabalhar o vocabulário de uma forma mais usual, exemplos para a maioria dos cálculos, sejam eles mais complicados ou mais simples.

São necessários vontade, treino e disposição para querer aprender, fazer exercícios e saber que o conhecimento não ocupa espaço.

Esperamos a dedicação e a aprendizagem de todos.

Vetor definido por dois pontos

Sendo A(x1 , y1) a origem de um vetor e B(x2 , y2) a sua extremidade, e se v→=⇄AB→v=⇄AB, temos:

v→=⇄AB→=B−A=(x2−x1,y2−y1)v=⇄AB=B−A=(x2−x1,y2−y1)

ou seja, para calcularmos as coordenadas de um vetor, dadas as coordenadas de sua origem e de sua extremidade, devemos fazer “extremidade menos origem”.

Exemplos:

1) Seja v→=⇄AB→v=⇄AB, onde A(1, 2) e B(3, 5). Calcule as coordenadas do vetor e construa o seu gráfico.

Resolução:

v→=⇄AB→=B−A=(3−1,5−2)=2,3v=⇄AB=B−A=(3−1,5−2)=2,3

v→=⇄OP→v=⇄OP é chamado vetor posição ou representante natural de ⇄AB→:⇄AB: vetor que melhor caracteriza ⇄AB→⇄AB dentre os infinitos representantes.

2) Dados os vetores u→=⇄AB→u=⇄AB e v→=⇄CD→v=⇄CD,  onde A(1 , 2); B(5 , 3); C(-2 , -2) e D(0 , 4), calcule:

a) u→+v→u+v

b) −12u→−21u

**Resolução: u→=⇄AB→=B−A=(5−1,3−2)=(4,1)v→=⇄CD→=D−C=(0−(−2),4−(−2))=(2,6)u=⇄AB=B−A=(5−1,3−2)=(4,1)v=⇄CD=D−C=(0−(−2),4−(−2))=(2,6)

a) u→+v→=(4,1)+(2,6)=(4+2,1+6)=6,7)u+v=(4,1)+(2,6)=(4+2,1+6)=6,7)

b) −12u→=−12(4,1)=(−42,−12)=(−2,−12)−21u=−21(4,1)=(−24,−21)=(−2,−21)**

3) Determine a origem do vetor v→=(−1,3)v=(−1,3), sabendo que a sua extremidade está em B(3 , 1).