Aprendemos resolver alguns tipos de integrais com frações, neste módulo iremos aprender a calcular para qualquer fração onde tenhamos polinômios no denominador e no numerador, são chamadas Frações Parciais.

Basicamente consiste em encontrar a raiz do polinômio do denominador e reescrever o polinômio na forma:

(x−a)(x−b)(x−a)(x−b)

Onde, a e b são as raízes do polinômio dado. Com isso irá alterar o numerador, pois escreveremos como soma de duas frações.

Exemplo:

∫x+7x2−x−6dx∫x2−x−6x+7dx

1º vamos encontrar as raízes do polinômio do denominador:

x2−x−6=0x2−x−6=0

Aplicando Bhaskara, temos:

∆=b2−4ac∆=(−1)2−4.1.(−6)∆=1+24∆=25∆=b2−4ac∆=(−1)2−4.1.(−6)∆=1+24∆=25

x=−b±∆2a=−(−1)±252.1=1±52x=2a−b±∆=2.1−(−1)±25=21±5

x1=1+52=62=3

x

1=21+5=26=3

x2=1−52=−42=−2x2=21−5=2−4=−2

As raízes são 3 e – 2, reescrevendo o polinômio x2−x−6x2−x−6, temos:

x2−x−6=(x−3)(x+2)x2−x−6=(x−3)(x+2)

Para reescrevermos como soma de duas frações, precisamos separar:

∫x+7x2−x−6dx=∫x+7(x−3)(x+2)dx∫x2−x−6x+7dx=∫(x−3)(x+2)x+7dx