Na aula anterior, foi apresentado o conceito de grandezas vetoriais e como os vetores são definidos no espaço geométrico. Ainda, outros conceitos abordados foram o de operações de soma e subtração de vetores e ângulos entre vetores. Esse conceitos serão fundamentais para essa e para as aulas subsequentes.

Nesta aula, será apresentada a definição algébrica de um vetor no plano (IR2) e no espaço (IR³), mostrando suas representações gráficas. Quando descrevemos vetores no plano, é de entendimento que o vetor possui uma representação bidimensional, ou seja, pertence ao conjunto dos números reais de duas dimensões, também representado pela sigla IR2. Já para vetores no espaço, a representação dos vetores é tridimensional, pertencendo ao conjunto dos números reais de três dimensões, o IR3.

Ainda, nesse momento serão definidas algebricamente as operações de soma de vetores e multiplicação de vetor por um escalar.

Vetores – tratamento algébrico (IR2 e IR3)

1. Vetores no plano (IR2) e no espaço (IR3): representação gráfica

Sejam e1→e1​​ e e2→e2​​ dois vetores no plano não paralelos e representados com a origem no mesmo ponto O, e as retas r1r1​ e r2r2​ contendo esses representantes, respectivamente, é apresentada a seguinte figura para o prosseguimento dos conceitos:

Os vetores w→,m→,u→,x→w,m,u,x e y→y​ representados na figura são expressos em função de e1→e1​​ e e2→e2​​ por ​(lembre-se da regra do paralelogramo para somar vetores):

​w→=2e1→−2e2→w=2e1​​−2e2​​

​m→=−e1→+3e2→m=−e1​​+3e2​​

​u→=−2e1→−e2→u=−2e1​​−e2​​

​x→=−3e1→+0e2→x=−3e1​​+0e2​​

​y→=0e1→−2e2→y​=0e1​​−2e2​​​​

De modo geral, um vetor qualquer pode ser representado pela seguinte relação: v→=a1e1→−a2e2→v=a1​e1​​−a2​e2​​, com a1a1​, a2∈a2​∈ IR.​

Desse modo, os vetores w→,m→,u→,x→w,m,u,x e y→y​ são expressos em função de e1→e1​​ e e2→e2​​ ou que são combinações lineares da base B={e1→,e2→}.B={e1​​,e2​​}. Uma base é a região no plano ou no espaço que contempla os vetores.

Observações:

i) Qualquer conjunto de dois vetores não paralelos constitui uma base no plano.

ii) Uma base {e1→,e2→}{e1​​,e2​​} é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, isto é, se e1→⊥e2→e1​​⊥e2​​ e ∥e1→∥=∥e2→∥=1.∥e1​​∥=∥e2​​∥=1.

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Base canônica: