Nesta aula, vamos falar sobre continuidade, as funções contínuas e suas propriedades, o teorema do valor intermediário e as aplicações de continuidade.
Quando estudamos limites, também devemos considerar os estudos sobre continuidade. E, mesmo que seja possível entender continuidade sem conhecer os limites, aqui vamos entender continuidade por meio dos conceitos de limites.
Quando definimos limite de f(x) quando x está tendendo a n, podemos analisar o comportamento da função f = f(x), considerando valores de x muito próximos de n, porém com x diferente de n.
Já sabemos que a existência do limite de f(x) acontece mesmo que a função f não esteja definida no ponto n. Sabemos também que se f está definida em x = n e o limite de f(x) existe, mesmo assim pode acontecer deste limite ser diferente de f(a).
De forma bem simples, podemos dizer que uma função é contínua se conseguimos traçar seu gráfico completo sem retirar o lápis do papel, neste caso, sem interromper o traço, assim como podemos observar na função verde do seguinte gráfico.
Podemos, então, definir uma função f como contínua em um número n se:
$$ \lim_{x\to n} f(x) = f(x) $$
Perceba que esta definição precisa de três acontecimentos para que se tenha a continuidade de f em n:
existe
Se f está definida próximo de n, em um intervalo aberto contendo n, porém sem n, dizemos eu f é descontínua em n, ou seja, f tem uma descontinuidade em n, se f não é contínua em n.
Veja no gráfico da função abaixo que a função f(x) = x² é descontínua no ponto A=(-2,4) e no ponto B=(2,4).
Para podermos aplicar as funções contínuas com mais simplicidade, é importante conhecermos algumas de suas propriedades.