Até o momento, trabalhamos mais especificamente com as questões de álgebra linear, matrizes, determinantes e sistemas de equações. As ferramentas matemáticas vistas anteriormente nos dão base para entender como equações se comportam quando dependem de mais de uma variável. A partir de agora, iremos abordas as questões gráficas dessas equações, ou seja, as equações lineares no espaço geométrico. Para isso, precisamos entender os conceitos de vetores, grandezas vetoriais e escalares.
Apresentação
Na matemática e no espaço macro em que vivemos, existem dois tipos de grandezas. Grandezas são valores que dão significado a algo. Essas duas formas de grandezas são chamadas de escalares e vetoriais.
As grandezas que são chamadas de escalares são definidas por um número real e a unidade de medida correspondente. Ou seja, o significado dessas grandezas são atribuídos apenas pelos seus valores e sua unidade de medida. Como exemplos de grandezas escalares podemos citar: comprimento, área, volume, massa e temperatura. Quando observamos em um termostato que a temperatura de algum ambiente está em 21o Celsius, entendemos que essa medida segue uma escala e conseguimos ter uma noção da temperatura do ambiente.
No entanto, algumas grandezas não ficam completamente definidas apenas pelo número com sua unidade, essas são as grandezas vetoriais que são caracterizadas pela direção, sentido e magnitude (módulo). Como exemplos de grandezas vetoriais podemos citar: força, velocidade e aceleração. Outro exemplo, pode ser o comprimento de algum objeto, sendo necessário especificar qual a direção daquele comprimento, se é espessura, profundidade ou largura.
Os vetores também podem ser muito úteis na obtenção de resultados geométricos, ou seja, alguns teoremas da Geometria Euclidiana podem ser demonstrados de forma mais simplificada com o uso da técnica vetorial, sendo o caso da área de um paralelogramo ou o volume de um paralelepípedo.
Assim, nesta aula serão tratados os princípios da Geometria Analítica de forma vetorial. Inicialmente, serão abordados alguns conceitos e vocabulários fundamentais para o prosseguimento do conteúdo.
Segmentos orientados: Um segmento orientado, é representado por um par de pontos ordenados. Por exemplo, na figura abaixo, caracteriza o par ordenado de pontos (A , B), no qual A é a origem e B é a extremidade do segmento.
Segue algumas observações:
Comprimento: Os seguimentos orientados, ou pares ordenados de pontos, possuem um valor associado, sendo um número real. Esse valor é o comprimento, ou também chamado de módulo, sendo a medida escalar do seguimento orientado. De maneira geral, o comprimento possui unidade de medida como u.c.: unidade de comprimento, para designar a unidade de medida do segmento. Na prática, a unidade de comprimento pode ser metros, centímetros, milímetros, polegadas e entre outras unidades.
Direção e sentido: Como observado anteriormente, um segmento orientado, como é a ligação entre dois pontos, possui uma direção e o sentido. Por exemplo, tendo-se dois pares ordenados, ou seguimentos orientados, não nulos (A , B) e (C , D), é dito que esses segmentos possui a mesma direção se as retas AB e CD são paralelas (ou coincidentes). Esse caso pode ser observado nas figuras abaixo. Assim, o sentido dos segmentos orientados apenas podem ser analisados se os mesmos possuem a mesma direção.
Segue alguns exemplos gráficos:
Vetores: Um vetor é uma quantidade ou fenômeno que apresenta três propriedades independentes: magnitude, direção e sentido. Exemplos de vetores na natureza são velocidade, momento, força, campos eletromagnéticos e peso. No contexto desta disciplina, vetor é um conjunto de todos os pares ordenados que são paralelos, ou seja, possuem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento, ou magnitude. Seguem exemplos gráficos: