Na aula anterior, começamos a resolver sistemas de equações lineares pelo método de Cramer. Como foi visto, é um método que para matrizes quadradas de até ordem 3 funciona bem, e de maneira simples matematicamente. No entanto, para matrizes de ordem maior ou igual a 4, o processo de solução pelas regras de Cramer se torna exaustivo, pois seria necessário o cálculo de muitos determinantes de matrizes derivadas.
Para contornar isso, usamos um método chamado de escalonamento, que possibilita a resolução de sistemas de equações de qualquer ordem. Ainda, mesmo que esse método nos permita resolver sistemas de ordens maiores, a complexidade matemática também aumenta. Contudo, esse método se mostra de maneira organizada e de fácil compreensão para sistemas de ordens superiores.
Escalonamento
Escalonamento, é um método para resolução de sistemas de equações lineares, Nesse método, o intuito é montarmos um sistema equivalente ao sistema original, efetuando-se combinações lineares (multiplicações por constantes, somas e subtrações, trocas, etc.) com as linhas do sistema. Esse método baseia-se nas propriedades de matrizes que foram vistas em aulas anteriores. Das quais, se multiplicar ou dividir alguma linha ou coluna das matrizes por uma constante, o resultado e o determinante não será alterado.
Assim, faz-se essas operações para ir zerando os elementos que estão fora da diagonal principal. E, dessa forma, procura-se montar um sistema triangularizado, ou matriz triangular, de modo que a solução desse sistema seja o mesmo do sistema original. Assim, vamos realizar esse processo em um sistema de ordem 2.
Segue um exemplo prático:
Seja o sistema {2x+3y=1x−y=−2{2x+3y=1x−y=−2. Vamos tentar eliminar uma das incógnitas na 2ª linha. Por exemplo, vamos tentar eliminar a incógnita y.Dessa forma, podemos multiplicar a 2ª linha por 3 e somar com a 1ª linha. Assim:
{2x+3y=1x−y=−2.(3)⇒{2x+3y=13x−3y=−65x =(+)−5⇒{2x+3y=15x =−5{2x+3y=1x−y=−2.(3)⇒5x ={2x+3y=13x−3y=−6(+)−5⇒{2x+3y=15x =−5
Observe que ao multiplicar a segunda linha por 3, cria-se uma igualdade com o coeficiente que acompanha o y na primeira e na segunda linha do sistema. Assim, somando-se as duas linhas, obtemos uma terceira equação, que não depende do y, facilitando a solução.
Obtemos então um sistema triangularizado, equivalente ao sistema original. Isso significa que a solução desse sistema equivalente é igual à solução do sistema original. Por sistema triangularizado, é entendido que a última linha tem apenas uma variável, a penúltima duas e assim por diante. Então, teremos, resolvendo a segunda equação do sistema do exemplo:
5x=−5⇒x=−55=−15x=−5⇒x=5−5=−1
Agora, basta substituir o valor de x na 1ª equação, para obtermos o valor de y. Então:
2.(−1)+3y=1⇒−2+3y=1⇒3y=3⇒y=33=12.(−1)+3y=1⇒−2+3y=1⇒3y=3⇒y=33=1
Dessa forma, a solução do sistema é o par ordenado (-1,1).De modo geral, no escalonamento o processo segue o seguinte passo a passo: