Já vimos como fazer a integral indefinida para as operações de: adição e subtração entre funções, e multiplicação de uma função por uma constante, além de situações que temos funções compostas. Agora vamos aprender como integrar quando temos uma multiplicação entre duas funções, sendo essas funções diferenciáveis, segue a fórmula:
$$ \int v(x).u′(x).v(x).v(x)− \int u(x).v′(x).dx $$
Para fim de decorar, simplificamos a fórmula para:
$$ \int u.dv=u⋅v− \int v⋅du $$
A integração por partes é a técnica equivalente à regra do produto na diferenciação.
Veja, pela fórmula, que sempre consideraremos uma multiplicação entre funções e uma delas estaria em seu formato de derivada, cabe a você saber escolher a que melhor se enquadra no perfil:
Vamos ver alguns exemplos para ilustrar:
$$ \int t⋅e^{4t}dt $$
$u=t \rightarrow \frac{du}{dt}=1 \therefore du=dt$
$dv=e^{4t}.dt$
$\int dv = \int e^{4t}.dt$
$v = \frac{1}{4}e^{4t}$
$\int t.e^{4t}dt=t.\frac{1}{4}.e^{4t}-\int \frac{1}{4}.e^{4t}.dt$
$=t.\frac{1}{4}.e^{4t}-\frac{1}{4}.\int e^{4t}.dt$
$\frac{t}{4}.e^{4t}-\frac{1}{4}.\frac{1}{4}.e^{4t}+c$
$=\frac{t}{4}.e^{4t}-\frac{1}{16}e^{4t}+c=e^{4t}(\frac{t}{4}-\frac{1}{16})+c$
$$ \int u.dv=u⋅v− \int v⋅du $$
$$ \int x.e^xdx $$
$u=x$
$\frac{du}{dx}=1 \therefore du=dx$
$dv=e^x.dx$
$\int dv = \int e^x.dx \rightarrow v=e^x$
$x.e^x-\int e^{x}dx=x.e^x-e^x+c$
$\quad \quad \quad =e^x(x-1)+c$
$$ \int u.dv=u⋅v− \int v⋅du $$
$$ \int x.(x+1)²dx $$
$u=(x+1)²=x²+2x+1$
$du=2x+2=2(x+1)dx$
$dv=x.dx$
$v= \int x.dx \rightarrow v=\frac{x²}{2}$
(Resolução 1)
$(x+1)².\frac{x²}{2}- \int x³+x²dx$
$=(x¹+2x+1).\frac{x²}{2}- \int x³+x²dx$
$=\frac{x⁴}{2}+x³+\frac{x²}{2}-\frac{x⁴}{4}-\frac{x^3}{3}+c$
$=\frac{x⁴}{4}+\frac{2x³}{3}+\frac{x²}{2}+c$
$$ \int u.dv=u⋅v− \int v⋅du $$
(Resolução 2)
$\int x.(x²+2x+1).dx$
$\int x³+2x²+x.dx$
$=\frac{x⁴}{4}+\frac{2x³}{3}+\frac{x²}{2}+c$
$$ \int x².e^xdx $$