Integrais Exponenciais

A integral é a operação inversa à derivada, também conhecida como antiderivada, logo, se lembrarmos que a derivada da exponencial é ela própria, na integral não será diferente, veja:

$$ ∫e^xdx=e^x+c $$

Exemplos:

1. Calcule a integral indefinida:

   $$ ∫2e²dx $$

   Resolvendo, temos:

   $2.\int e^xdx=2.e^x+c$

2. Calcule a integral indefinida:

   $\int 2e^{2x}dx$

   Para resolver utilizando a regra que aprendemos da exponencial, precisamos fazer uma mudança de variável, vamos chamar $u=2x$ e por consequência $\frac{du}{dx}=2 \rightarrow du=2dx$, temos:

   

   $\int e^{2x}.2.dx \rightarrow \int e^u.du = e^u+c$

   Voltando a substituição feita  $u=2x$ temos:

   $e^{2x}+c$

3. Calcule a integral indefinida:

   $\int (e^x+x)dx$

   Resolvendo, temos:

   $\int e^x.dx+\int x.dx$

   $e^x+ \frac{x^{1+1}}{1+1}+c$

   $e^x+ \frac{x^2}{2}+c$

Integrais Logarítmicas

Aqui iremos aprender quando teremos logaritmo como resposta de uma integral, então sempre que tivermos a função  teremos como resposta desta integral a função logarítmica neperiana. Veja:

$$ \int \frac{1}{x}dx=\ln |x| +c $$

Regra Logarítimica Simples

$$ \int \frac{u'}{u}du= \int \frac{1}{u}du=\ln|u|+c $$

Regra Logarítimica Geral

Exemplos:

1. Calcule a integral indefinida de:

   $$ \int \frac{4}{x}dx $$

   Resolvendo, temos:

   $\int4.\frac{1}{x}.dx =4\int\frac{1}{x}.dx=4\ln|x|+c$

2. Calcule a integral indefinida de:

   $$ \int \frac{2x}{x^2}dx $$

   Primeiro, vamos simplificar essa função:

   $u=x^2$

   $\frac{du}{dx}=2x$

   $du=2x.dx$

   $\int \frac{1}{x^2}2x = \int \frac{1}{u}du = \ln|u|+c$

   $\ln x^2+c$

3. Calcule a integral indefinida de:

$$ \int \frac{3}{3x+1}dx $$

Neste caso precisamos fazer uma mudança de variável $u=3x+1$ e com isso temos $\frac{du}{dx}=3 \rightarrow du=3dx$, reescrevendo:

$\int \frac{1}{3x+1}.3dx \rightarrow \int\frac{1}{u}=\ln |u|+c$