Resolva a integral a seguir:
$$ ∫(2x^2+2x−3)10(2x+1)dx $$
Sempre olhe para onde a função é composta, neste caso é em: $(2x²+2x-3)^{10}$, logo fazemos a mudança de variável $u=2x²+2x-3$, derivando temos:
Veja que 4x+2 não aparece na integral, precisamos ajustar para que apareça:
${du}=2(2x+1)dx$
$\frac{du}{2}=(2x+1)dx$
Reescrevendo a integral, temos:
$\int (2x²+2x3)^{10}(2x+1)dx= \int (u)^{10} \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int(u)^{10}du$
$\frac{1}{2}\int(u)^{10}du = \frac{1}{2}.\frac{u^{11}}{22}+c$
Fazendo a substituição $u=2x²+2x-3$, temos:
$\int (2x²+2x3)^{10}(2x+1)dx= \frac{(2x²+2x-3)^{11}}{22}+c$
Calcule a integral indefinida de:
$$ \int \frac{x}{\sqrt[5]{x²-1}}dx $$
Vamos reescrever a função antes de substituir:
$$ \int x. \frac{1}{(x²-1)^{\frac{1}{5}}}.dx = \int x.(x²-1)^{-\frac{1}{5}}.dx $$
Fazemos a mudança de variável $u=x^2−1$, derivando temos:
$\frac{du}{dx}=2x$
$du=2xdx$
Só temos que “sobra” o x, veja:
Precisamos ajustar a derivada $du=2xdx$ passando o 2 dividindo:
$\frac{du}{2}=xdx$
Reescrevendo a integral, temos:
$$ \int u^{-\frac{1}{5}}.\frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{5}}.du $$
$$ =\frac{1}{2}.\frac{u^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}}+c $$
$$ =\frac{5}{8}.(x²-1)^{\frac{4}{5}}+c $$
Encontre:
$$ \int x³ \cos(x⁴ +2)dx $$
Fazemos a mudança de variável $u=x⁴+2$, derivando, temos:
$\frac{du}{dx}=4x^3$
$\frac{du}{4}=x^3dx$
Reescrevendo com a substituição, temos:
$$ \int \cos(u).\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \cos(u).du $$
$$ =\frac{1}{4}.\sin(u)+c $$
Fazendo a substituição $u=x⁴+2$, temos:
$$ =\frac{1}{4}.\sin(x⁴+2)+c $$
Encontre:
$$ \int x.\sin x².dx $$
$u=x²$
$\frac{du}{dx}=2x$
$\frac{du}{2}=xdx$
$$ \int sin(u).\frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \sin (u).du $$
$$ \frac{1}{2}.(-\cos (u))+c $$
$$ =-\frac{1}{2}.\cos (x²)+c $$
Calcule:
$$ \int sin(5x).dx $$
$u=5x$
$\frac{du}{dx}=5$
$\frac{du}{5}=dx$
$$ \int sin(u).\frac{du}{5} = \frac{1}{5} \int \sin (u).du $$
$$ =-\frac{1}{5}.\cos(u)+c $$
$$ =-\frac{1}{5}.\cos(5x)+c $$
Calcule a integral indefinida
$$ \int x².\sqrt{1+x}dx $$
$u=1+x \rightarrow x=u-1$
$\frac{du}{dx}=1 \therefore du=dx$
$$ \int (u-1)².u^{\frac{1}{2}}.du = \int (u²-2u+1).u^{\frac{1}{2}}.du $$
$$ \int u^{\frac{5}{2}} - 2u^{\frac{3}{2}}+u^{\frac{1}{2}}.du = \frac{u^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}}-2.\frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{}{2}}+\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c $$
$$ ={\frac{2}{7}}.u^{\frac{7}{2}}-{\frac{4}{5}}u^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+c $$
$$ ={\frac{2}{7}}.(1+x)^{\frac{7}{2}}-{\frac{4}{5}}(1+x)^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}+c $$
Calcule
$$ \int \sqrt{3t⁴+t²}dt $$
$\int [t²(3t²+1)]^{\frac{1}{2}}.dt$
$\int t.(3t²+1)^{\frac{1}{2}}.dt$
$u = 3t²+1$
$\frac{du}{dx}=6.t$
$\frac{du}{6}=t.dt$
$$ \int u^{\frac{1}{2}}.\frac{du}{6} = \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2}}.du $$
$$ \frac{1}{6}. \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}.du+c=\frac{1}{6}.\frac{2}{3}.(3t²+1)^{\frac{3}{2}}+c $$
$$ \quad \quad \quad =\frac{1}{9}.(3t²+1)^{\frac{3}{2}}+c $$