A matriz inversa ou matriz invertível é uma matriz quadrada, ou seja, que possui o mesmo número de linhas (m) e colunas (n). Como visto anteriormente, as matrizes quadradas possuem um número associado, que é chamado de determinante.

Matriz Quadrada é a matriz que possui o número de linha igual ao número de colunas, ou seja, 2x2, 3x3, 4x4 etc. Segue alguns exemplos:

A2,2=[a1,1a1,2a2,1a2,2]A2,2​=[a1,1​a2,1​​a1,2​a2,2​​]

Desse modo, a matriz inversa é a matriz que quando multiplicada pela matriz original, gera a matriz identidade. Ela ocorre quando o produto de duas matrizes resulta numa matriz identidade de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas).

Assim, para encontrar a inversa de uma matriz, utiliza-se a multiplicação, como segue: A.B=B.A=InA.B=B.A=In​ (quando a matriz B é inversa da matriz A)

Assumindo que a matriz B é a inversa da matriz A, observe a propriedade de que a ordem dos fatores não altera o produto da matriz.Matriz Identidade é a matriz que ocorre quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0 (zero), simbolicamente representada por I e também o número de linhas tem que ser igual ao número de colunas. Segue os exemplos:

I2,2=[1001]I2,2​=[10​01​];    I3,3=[100010001]I3,3​=⎣⎡​100​010​001​⎦⎤​

A matriz inversa é representada também pelo símbolo da matriz elevado a menos um, por exemplo, a inversa da matriz A é a matriz

A−1

A

−1​. Com esses conceitos, segue alguns exemplos de Matriz Inversa:

A é inversa de A=[2101]A=[20​11​] é A−1=[12−1201]A−1=[21​0​−21​1​]

​Realizando a multiplicação da matriz original pela sua inversa, obteremos uma matriz identidade de ordem quadrada:

​A.A−1=[2101].[12−1201]=[1001]A.A−1=[20​11​].[21​0​−21​1​]=[10​01​]

​​Se a ordem for alterada para a multiplicação de matrizes, o resultado não será alterado:

​A−1.A=[12−1201].[2101]=[1001]A−1.A=[21​0​−21​1​].[20​11​]=[10​01​]

Nesse mesmo sentido, o processo de inversão de matrizes de ordem maior segue o mesmo processo. Segue o desenvolvimento para uma Matriz Inversa 3x3:

A é inversa de A=[210010121]A=⎣⎡​201​112​001​⎦⎤​ é A−1=[12−120010−12−321]A−1=⎣⎡​21​0−21​​−21​1−23​​001​⎦⎤​​​

​A.A−1=[210010121].[12−120010−12−321]=[100010001]A.A−1=⎣⎡​201​112​001​⎦⎤​.⎣⎡​21​0−21​​−21​1−23​​001​⎦⎤​=⎣⎡​100​010​001​⎦⎤​

​A.A−1=[12−120010−12−321].[210010121]=[100010001]A.A−1=⎣⎡​21​0−21​​−21​1−23​​001​⎦⎤​.⎣⎡​201​112​001​⎦⎤​=⎣⎡​100​010​001​⎦⎤​