O determinante de matrizes é um número real que traz algum significado físico e matemático para a matriz. Em cada área das ciências exatas e da terra, o determinante pode ter diferentes interpretações e significados. Nessa aula, serão utilizados os conceitos apresentados anteriormente e também a apresentação de métodos de cálculos de determinantes e suas propriedades.
Quanto as aplicações, na álgebra linear, o determinante pode ser usado para determinar se uma matriz admite a inversa ou não, como será visto nas aulas posteriores. Nas engenharias, o determinante diz respeito a estabilidade de sistemas, e na computação, o determinante pode ser referido a um padrão do conjunto de dados. Essas aplicações são avançadas, mas vamos iniciar com o processo de cálculo e propriedades.
Determinantes
Como discutido anteriormente, as matrizes são representações bidimensionais de dados. Desse modo, toda a matriz quadrada associa-se um número, denominado determinante, simbolicamente representado por Det. O determinante pode agregar algumas propriedades as matrizes e também aos dados nela contidos, possibilitando a aplicação de algumas outras operações matemáticas do que as observadas na aula anterior.
Nesse contexto, agora será descrito os processos de cálculo de determinantes de matrizes de diversas ordens, e posteriormente será abordado as propriedades desse número que é associado as matrizes.
Determinante de ordem 1
Quando a matriz é quadra de ordem 1 por 1, ou seja, uma linha e uma coluna, diz-se apenas que é uma matriz de ordem 1. Nesse caso, o determinante é o próprio elemento unitário da matriz, como segue na demonstração:
A=[a1,1]⇒detA=a1,1A=[a1,1]⇒detA=a1,1
Determinante de matriz de ordem 2
Quando se tem matrizes quadradas, chamamos a ordem da matriz apenas pelo índice no qual ela é quadra, por exemplo a matriz de ordem 2, que é uma matriz quadrada de duas linhas e duas colunas.
Para calcularmos o determinante de uma matriz de ordem 2, faremos simplesmente a multiplicação dos elementos da diagonal principal e subtrairemos da multiplicação dos elementos da diagonal secundária.
Assim, dada a matriz A=∣a1,1a1,2a2,1a2,2∣A=∣∣a1,1a2,1a1,2a2,2∣∣ o determinante será:
DetA=(a1,1.a2,2)−(a1,2.a2,1)DetA=(a1,1.a2,2)−(a1,2.a2,1)
Exemplo:
a) A=∣45810∣A=∣∣48510∣∣ etA=(4.10)−(5.8)DetA=(4.10)−(5.8)
DetA=40−40DetA=40−40 DetA=0DetA=0
b) A=∣1230∣A=∣∣1320∣∣ DetA=(1.0)−(2.3)=0−6DetA=(1.0)−(2.3)=0−6 DetA=−6DetA=−6
Determinante de matriz de ordem 3 (método de Sarrus)
Para matrizes de ordem maiores ou igual a 3, é necessário técnicas mais complexas para o cálculo do determinante. Nesse sentido, para matrizes de ordem 3, o determinante é calculado pelo método de Sarrus.
Para calcular o determinante de ordem 3 por Sarrus, é necessário realizar o seguinte protocolo em ordem: