Em 1847, dois grandes trabalhos inovadores foram publicados por matemáticos britânicos: Lógica Formal por Augustus de Morgan (1806-1871) e a Análise Matemática da Lógica por George Boole (1815-1864). Ambos os autores procuraram expandir os limites da lógica tradicional desenvolvendo um método geral para representar e manipular inferências logicamente válidas.
Embora de natureza explicitamente algébrica, a abordagem audaz e original de Boole levou a um sistema de álgebra muito estranho. Em seu trabalho publicado no livro “Uma Investigação das Leis do Pensamento”, publicado em 1854, Boole explorou essa álgebra estranha e verificou que seu sistema se assemelhava e divergia da álgebra tradicional. Apesar de não ter sido bem recebido na época, posteriormente tornou-se um campo de estudo em matemática é uma ferramenta poderosa na concepção e estudo de circuitos eletrônicos e arquitetura de computadores.
Por meio dos postulados e teoremas é possível simplificar as expressões lógicas.
Postulado 1 - A soma lógica de uma variável (a) mais 1 é sempre 1
$$ A + 1 = 1 $$
Postulado 2 - A soma lógica de uma variável mais um valor lógico 0 sempre será igual a variável.
$$ A + 0 = A $$
Postulado 3 - O produto lógico de uma variável por um valor lógico 1 sempre será variável.
$$ A.1=A $$
Postulado 4 - O produto lógico de uma variável por um valor lógico 0 será sempre 0.
$$ A.0 = 0 $$
Postulado 5 - A soma lógica ou o produto de duas variáveis iguais é igual a própria variável.
$$ A + A = A $$
$$ A.A = A $$
Postulado 6 - A soma lógica de uma variável mais a negação da mesma é sempre 1.
$$ A + \overline{A} = 1 $$
Postulado 7 - O produto lógico de uma variável pela negação da mesma é sempre 0.
$$ A.\overline{A} = 0 $$
Postulado 9 - Se dois membros de uma igualdade forem negados, não sofrerá alteração, ou seja:
$$ S = \overline{A} + \overline{B} \rightarrow S = A + B $$
$$ S = \overline{A} . \overline{B} \rightarrow S = A . B $$
Dentro da álgebra de Boole existem três tipos de propriedades: a comutativa, associativa e a distributiva:
a+b = b+a
a.b = b.a