Vamos resumir algumas ideias, sem apresentar as demonstrações, de como podemos aplicar a integral:
Sabemos que a velocidade é a razão da variação da distância pela variação do tempo:
$$ V_m=\frac{\Delta S}{\Delta t} \rightarrow V_{inst.}=\lim_{(\Delta t \rightarrow 0)} \frac{\Delta S}{\Delta t} = S'(t) $$
Sabemos que a aceleração é a razão da variação da velocidade pela variação do tempo:
$$ a_m=\frac{\Delta V}{\Delta t} \rightarrow a_{inst.}=\lim_{(\Delta t \rightarrow 0)} \frac{\Delta V}{\Delta t} = V'(t) $$
Das duas últimas conclusões:
$$ V_{inst.} = S'(t) $$
$$ a_{inst.} = V'(t) = S''(t) $$
Uma bola é jogada para cima com uma velocidade ncial de 64 pés por segundo a partir de uma altura de 80 pés, como na figura. Deduza a função posição, fornecendo a altura s (em pés) em função do tempo t (em segundos). A bola ficará no ar por mais de cinco segundos?
Solução:
Tome t = 0 como o instante inicial. Então as duas condições dadas podem ser escritas como
$s(0) = 80$ a altura inicial é 80 pés
$s'(0) = 64$ a velocidade inicial é 64 pés por segundo.
Como a aceleração da gravidade é -32 pés por segundo, pode-se integrar a função aceleração para determinar a função velocidade conforme mostrado.
$s''(t)=-32$ Aceleração da gravidade
$s'(t)= \int -32dt$ Integre s” para obter s’(t)
$=-32t + C_1$ Função velocidade
Usando a velocidade inicial, pode-se concluir que $C_1 = 64$
$s'(t)=-32 + 64$ Função velocidade
$s(t)= \int (-32dt+64)dt$ Integre s’(t) para obter s(t)
$s(t)=-16t² + 64t + C_2$ Função posição
Usando a altura inicial, segue que $C_2 = 80$. Dessa forma, a função posição é dada por
$s(t)=-16t² + 64t + 80$ Função posição
Para determinar o momento que a bola atinge o chão, iguale a função posição a 0 e determine t.