Geometria analítica e sistemas lineares são disciplinas da área das ciências exatas, mais especificamente da matemática, que nos ajudam a descrever analiticamente o universo em que estamos. Especificamente, a geometria analítica busca descrever as formas geométrica em termos de equações e funções matemáticas, com o objetivo de tornar as aplicações no cotidiano de maneira mais exata e precisa. Já os sistemas lineares, são organizações de dados, provindos da disciplina de álgebra linear, que busca técnicas para resolução de problemas com grande quantidade de variáveis.
Por exemplo, se lançamos um objeto para cima, o movimento desse objeto será dependente, exclusivamente do tempo, como nos foi apresentado nas disciplinas de física do ensino médio. No entanto, se considerarmos a influência da força de lançamento, da resistência do ar, da ação da gravidade e entre outras variáveis, a determinação do movimento se torna complexa. Desse modo, para a resolução de problemas com mais de uma variável, ou com várias condições, é necessário técnicas matemáticas específicas, que a álgebra e as teorias de sistemas lineares nos auxiliam.
O exemplo citado é apenas para fins de imaginação, mas esses problemas que buscamos resolver estão nas mais variadas situações, como grandes quantidades de dados, inteligência artificial, robótica e entre outras aplicações.
As técnicas de sistemas lineares são baseadas em uma representação específica dos dados, as chamadas matrizes, que é o escopo desta aula. O conceito de matrizes aparece muitas vezes como uma tabela, na qual podemos organizar os elementos de modo que a visualização e interpretação seja mais fácil. Podemos usar tabelas para organizar dados, pesquisas, elementos em geral, etc. Dessa forma, as matrizes podem ser utilizadas para que a visualização e a interpretação fique mais simples. Portanto, podemos usar essas matrizes para organizar dados de vendas, horários, temperaturas, etc., de modo que o gestor possa, primeiramente ter todos os dados levantados e acondicionados em uma forma matricial para que, de posse desses, possa tomar as melhores decisões para o futuro.
Dessa maneira, começamos nossa disciplina com as definições e características das matrizes.
As matrizes são formas de representação de dados, nomeadas por letras maiúsculas, dentro de (parênteses), [colchetes] ou ║barras duplas║. Segue exemplos de representação de uma Matriz genérica:
$$ \left(\begin{array}{cc}2 & 7 \\ 5 & 8\end{array} \right) \text{ ou } \left[\begin{array}{cc}2 & 7 \\ 5 & 8\end{array} \right] \text{ ou } \left\|\begin{array}{cc}2 & 7 \\ 5 & 8\end{array} \right\| $$
Toda a matriz tem uma ordem, que é dada pelo número de linhas e pelo número de colunas, onde i representa o número de linhas e j representa o número de colunas. Assim, as matrizes do exemplo anterior são da ordem 2x2 (dois por dois).
Temos também os elementos de uma matriz, onde cada um ocupa uma posição relacionada pela linha e pela coluna que ele esta ocupando.
Exemplos: Temos uma matriz A de ordem 2 por 2 ou seja 2 linhas e 2 colunas e a posição de cada elemento sendo representado por variáveis.
$$ A_{2,2}=\left[\begin{array}{cc}a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{array} \right] $$
$a_{1,1}$ Ocupa a primeira linha e a primeira coluna
$a_{1,2}$ Ocupa a primeira linha e a segunda coluna
$a_{2,1}$ Ocupa a segunda linha e a primeira coluna
$a_{2,2}$ Ocupa a segunda linha e a segunda coluna
Para a construção de uma matriz precisamos de uma lei, geralmente dada por uma fórmula que envolve o número da linha (i) e o número da coluna (j) do elemento. Por exemplo:
Construir uma matriz A de ordem 2 tal que $A_{i,j}=2i+j$
1º passo montar uma matriz posicional $A_{2,2}=\left[\begin{array}{cc}a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{array} \right]$